Mit állít a nagy számok törvénye?

Ha adott egy lehetőség, és elégszer próbálkozunk, előbb-utóbb biztosan sikerül. Kérdés persze, hogy mennyi idő kell hozzá.

Az igazat megvallva (vagy, ha úgy tetszik: szigorúan véve) semmit! Ugyanis egyetlen, „igazi” Nagy-számok-törvénye nem létezik. Csupán a közbeszéd használja így egyszerűsítve-összevonva az események terének, a számosságoknak a végtelennel kacérkodó összefüggéseit. A matematika tudományos valóságában számtalan nagy számok törvénye létezik, s ezek mind a valószínűségszámítás dzsungelében igyekeznek rendet vágni. Nevüket sorra felismerőjükről, ritkábban általánosíthatóságuk fokáról, mértékéről nyerték.

Ezek szerint említünk (többek között, leggyakrabban) Bernoulli-tételt, a Centrális határeloszlás-tételét, Csebisev egyenlőtlenség-tételét, Kolmogorov-féle valószínűségi konvergenciát, de Moivre-Laplace tételt, a nagy számok erős-, illetve a nagy számok független törvényét… Amiből következően (amennyiben ragaszkodunk a cím sugallta megközelítéshez) legfeljebb „nagy számok törvényei”-ről beszélhetünk. (A négy kiadást is megért egyetlen valamirevaló magyar matematikai (kis)lexikon - Dr. Farkas Miklós, 1972 – is ezt a többesszámú szócikkformát alkalmazza.) Maga az elnevezés egy francia tudós, Poisson nagyjelentőségű publikációjából származik (1837). Ekkor lép a valószínűségszámítás és a statisztika színpadára a Poisson-eloszlás, ami egy adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát fejezi ki. Az alapjelenség, az általános elv felismerése azonban jó másfélszázaddal korábbi, a zseniális Jakob Bernoulli érdeme, aki posztumusz kiadott legjelentősebb művében (Ars Conjectandi, Bázel, 1713) összegezte a valószínűségszámítás alapjait. Ebben szerepelnek a szerencsejátékosok körében bölcsek kövének mondható Bernoulli-számok éppúgy, mint a már említett Bernoulli-eloszlás meghatározása.

Ezekután már aligha térhetünk ki alapkérdésünk elől. Mit mond nekünk ez a rokonterületek jelentős szabályszerűségeiből egybemarkolt tétel-csokor? Nos, a matematika és a logika szakzsargonjából magyarra fordítva – és lényegesen leegyszerűsítve – a törvény azt állítja, hogy a véletlenszerű események mennél többször ismétlődnek, annál kevésbé véletlenszerűek. Csupán kissé szakszerűbben fogalmazva: a gyakoriság nagyszámú kísérlet esetén megközelíti a valószínűséget. Végtelenhez tartó próba nyomán minden határon túli közelségben! Egy kézenfekvő gyakorlati példa szerint: ha nagyon-nagyon sokszor dobunk fel egy pénzdarabot, az pontosan az esetek felében esik az érme fej-, ahogy az írás-oldalára is. (Minél többször dobunk, annál pontosabban!)

Annál a kérdésnél, hogy végül is mit állítanak a nagy számokkal kapcsolatos törvények alighanem fontosabb (de mindenképpen érdekesebb) az, hogy mi következik megállapításaikból? E ponton végtelen felsorolás és elképzelhetetlen elmelégtornász mutatványok következhetnének: a technika művészeinek és a tudomány álmodóinak kimeríthetetlen leleménye. Ám talán elegendő egyetlen elképesztő megállapítást ideemelni, „felépítésének” tanulságos történetével egyetemben.

Az állítás nem túl bonyolult, ám annál megdöbbentőbb: Ha egy majmot írógép elé ültetünk, s az állat önfeledten össze-vissza csépelni kezdi a billentyűket, előbb-utóbb bizonyosan leírja Shakespeare teljes életművét. (Is. Természetesen, amennyiben a masinából sosem fogy ki a papír, s a szalag, és persze az sem árt, ha az a bizonyos emberszabású örökéletű…) Ezt a gondolatkísérletet egy francia matematikus, politikus (egy időben nem volt ritka ez a párosítás a gall közéletben), Émile Borel rögzítette egy értekezésében, 1913-ban. Bár közszájon forgó vicc lett belőle, hamar napirendre tértek fölötte. Először Angliában vették komolyan, és a brit tudományosságban a valószínűségszámítás alaptételei közé került az úgynevezett „végtelen majom-tétel”. Aztán a gondolat végleg révbeért: a 20. század egyik meghatározó írója, gondolkodója, az argentin Borges pompás esszénovellát kerekített köré (The Total Library,1939). Ezt két évvel később kiteljesítette egy világsikerű írásában: The Library of Babel. Ebben egy olyan könyvtárat jelenít meg, melyben minden(!!) elképzelhető könyv megtalálható, ami betűkből és írásjelekből áll…

A tétel ősforrását Borges Arisztotelész Metafizikájában véli megtalálni. A halhatatlan görög az atomtan általánosításával barátkozva megjegyzi, hogy amint a világ véletlenszerűen elhelyezkedő atomok összessége, úgy egy dráma és egy tragédia is ugyanazokból az „atomokból” - történetesen betűkből - áll.

Cicero három évszázad multán sem tud beletörődni ebbe az állításba. Az Istenek természete című munkájában így ír: Kételkedem abban, hogy egy zsáknyit a huszonegy betűből földre szórva az Annales (a Pontifex Maximus által vezetett hivatalos évkönyv az antik Rómában) lesz olvasható, vagy akár csak annak egy rövid szakasza megjelenne.

Sokan kacérkodtak még a véletlenül (korlátlanul) előállítható remekművek gondolatával. Közülük talán Diderot megfogalmazása a legelgondolkodtatóbb. A nagy enciklopédista a Filozófiai gondolatok-ban mintha némi iróniát is megengedne magának: „Egy híres professzor jegyzeteiben olvasom, hogy a világ az atomok véletlen szökelléseiből származik. Szeretném, ha azt is kimondanátok, hogy Homérosz Iliásza és Voltaire életműve a karakterek véletlen ugrálásából származik"

Innen már egyenes az út Borges-ig, persze az összes cicerói kétellyel egyetemben. A legapróbb értelmes részletre az értelmetlen zagyvaság mérhetetlen garmada jutna – ki tekinthetné azt át, ki tehetne ebben a kazalban rendet? Egyáltalán: ki találná meg, hogyan venné észre, mi a figyelemre méltó. Még az is lehet, hogy minden(?!) már megvan, csak nem tűnik fel senkinek… Akadt matematikus, aki a harminc karakteres betű-írásjel készlet variációs lehetőségeit húszíves átlag könyvméretre vetítve számszerűsítette a majomra váró munkát, míg az összes lehetséges könyvet előállítja átlagos gépelési sebességgel. Durván kerekítve 10 a 800 000-ik hatványon évet kapott. Sokszorosát az ősrobbanástól az anyag „összezuhanásáig” (a világvégéig) tartó becsültidőnek!

De ne akadjunk fel kicsinységeken! Tény, hogy ha töméntelen sok majom, nagyon-nagyon sokáig, rettenetesen igyekszik, elő fognak állítani mindent, az új Shakespeare összes műveit is.

Irodalmunk jelen állása mellett kijelenthetjük, hogy ennek az állításnak a bizonyossága igen megnyugtató.

Képek

1 Pafnutyij Lvovics Csebisev (1821 – 1894) - A Csebisev egyenlőtlenség a várható értéktől való eltérés (ami nem lehet túl nagy) szórását írja le.

2 Andrej Nyikolajevics Kolmogorov (1903 – 1987)

3 Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) A valószínűségszámításban és a statisztikában a Poisson-eloszlás kifejezi az adott idő alatt ismert valószínűséggel megtörténő események bekövetkezésének számát.